Question

如图，已知在坐标平面xOy内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一点，△PMN的面积为，点A的坐标为(1＋，)，＝m·(m为常数)，·＝||

(1)求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；

(2)过点B(－1，0)的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x＝－4于点E，点B、E分的比分别为λ₁、λ₂，求λ₁＋λ₂的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设M(－c，0)，N(c，0)(c＞0)，P(x0，y0)，则＝(2c，0)·(x0，y0)＝2cx0， 　　2cx0＝2c，故x0＝1．① 　　又∵S△PMN＝ (2c)|y0|＝，y0＝．② 　　∵＝(x0＋c，y0)，＝(1＋)，由已知(x0＋c，y0)＝m(1＋)，即．　故(x0＋c)＝(1＋)y0．③ 　　将①②代入③，(1＋c)＝(1＋)·，c2＋c－(3＋)＝0，(c－)(c＋＋1)＝0， 　　∴c＝，y0＝． 　　设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)． 　　∵a2＝b2＋3，P(1，)在椭圆上， 　　∴＝1．故b2＝1，a2＝4． 　　∴椭圆方程为＋y2＝1．　6分 　　(2)①当l的斜率不存在时，l与x＝－4无交点，不合题意． 　　②当l的斜率存在时，设l方程为y＝k(x＋1)， 　　代入椭圆方程＋y2＝1， 　　化简得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0．　8分 　　设点C(x1，y1)、D(x2，y2)，则 　　 　　∵－1＝， 　　∴λ1＝．　9分 　　λ1＋λ2＝[2x1x2＋5(x1＋x2)＋8]， 　　而2x1x2＋5(x1＋x2)＋8＝2·＋5·(8k2－8－40k2＋32k2＋8)＝0， 　　∴λ1＋λ2＝0．　12分