Question

若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与左右焦点F₁、F₂组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂作直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，求直线MF₁的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，进而根据题设的条件组成方程组求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）当直线l的斜率不存在时，AB的中点为F₂，直线MF₁的斜率k=0；当直线l的斜率存在时，设其斜率为m，直线AB的方程可知，与椭圆方程联立消去y，设M（x₀，y₀），进而可表示出x₀和y₀，当m=0时，AB的中点为坐标原点，直线MF₁的斜率k=0；当m≠0时用x₀和y₀表示斜率，进而根据m的范围确定k的范围．综合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由

a=2c a-c= 3 a2=b2+c2

?a=2

3

，c=

3

，b=3.
所以，椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

9

=1.
（Ⅱ）F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)，
当直线l的斜率不存在时，AB的中点为F₂，
直线MF₁的斜率k=0；
当直线l的斜率存在时，设其斜率为m，
直线AB的方程为y=m(x-

3

)，
由椭圆方程联立消去y并整理得：(3+4m2)x2-8

3

m2x+12m2-36=0
设M（x₀，y₀），则x0=

4 3 m2

3+4m2

，y0=m(x0-

3

)=

-3 3 m

3+4m2

当m=0时，AB的中点为坐标原点，直线MF₁的斜率k=0；
当m≠0时，k=

y0

x0+ 3

=

-3m

8m2+3

，
|k|=

3|m|

8m2+3

=

1

8 3 |m|+ 1 |m|

≤

1

2 8 3 |m|• 1 |m|

=

6

8

∴-

6

8

≤k≤

6

8

且k≠0．
综上所述，直线MF₁的斜率k的取值范围是[-

6

8

，

6

8

]．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．