Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）且

a

与

b

满足关系式：|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（其中k＞0）．
（1）用k表示

a

•

b

；
（2）证明：

a

与

b

不垂直；
（3）当

a

与

b

的夹角为60°时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得|

a

|=|

b

|=1，把已知条件平方可得结果；
（2）由（1）的结果结合基本不等式可证

a

•

b

≥

1

2

，故不垂直；
（3）由数量积的定义结合前面所求可建立关于k的方程，解之即可．

解答：解：（1）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，|

a

|=|

b

|=1，
∴(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，化简可得：
8k

a

•

b

=2k2+2，故

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)（k＞0）；
（2）由（1）可得

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)（k＞0），
由基本不等式可得

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

2

，
当且仅当k=1时取等号，故

a

•

b

≠0，
故

a

与

b

不垂直；
（3）当

a

与

b

的夹角为60°时，

a

•

b

=|

a

||

b

|cos60°=

1

2

，
又

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)（k＞0），
∴

1

4k

(k2+1)=

1

2

，解得k=1

点评：本题为向量的综合应用，涉及向量的模长夹角和基本不等式，属中档题．