Question

（2011•安徽模拟）已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

，且f(0)=

3

2

，f(

π

4

)=

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

求得：a=

3

2

，b=1，然后利用三角形的二倍角公式及和角的正弦公式化简函数f（x），最后利用三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）令f（x）中的整体角满足：2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求出x的范围，写成区间即为f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由 f （0）=

3

2

得a=

3

2

，
由 f （ 

π

4

）=

1

2

 得b=1
∴f （x）=

3

cos²x+sin x cos x-

3

2

=

3

2

cos 2x+

1

2

sin 2x=sin（2x+

π

3

）
故最小正周期T=π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

(k∈Z)
故f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．

点评：解决三角函数的有关性质问题，一般先将三角函数化为只含一个角一个函数的形式，然后利用整体角处理的方法来解决，属于中档题．