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    设F1、F2分别为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
    （1）若椭圆C上的点A（1，
    3
    2
    ）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
    （2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
    （3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    写出具有类似特性的性质，并加以证明．
    分析：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，根据椭圆的定义可得2a=4，即a=2．利用点A（1，
    3
    2
    ）在椭圆上，可求得b2=3，从而可求椭圆C的方程；
    （2）先利用中点坐标公式求得动点与F1K之间坐标关系，利用动点在椭圆上，可求中点的轨迹方程．
    （3）设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知
    m2
    a2
    -
    n2
    b2
    =1、又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
    解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．
    又点A（1，
    3
    2
    ）在椭圆上，因此b2=3，于是c2=1．
    所以椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，焦点F1（-1，0），F2（1，0）．
    （2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y），∴x1=2x+1，y1=2y．
    因此
    (2x+1)2
    4
    +
    (2y)2
    3
    =1    ．即(x+
    1
    2
    )    2    +
    4y2
    3
    =1    为所求的轨迹方程．
    （3）类似的性质为若MN是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1上关于原点对称的两个点，
    点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，
    并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
    设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），
    其中
    m2
    a2
    -
    n2
    b2
    =1、又设点P的坐标为（x，y），
    由kPM=
    y-n
    x-m
    ，kPN=
    y+n
    x+m
    ，
    得kPM•kPN=
    y-n
    x-m
    •
    y+n
    x+m
    =
    y2-n2
    x2-m2
    ，
    将y2=
    b2
    a2
    x2-b2，n2=
    b2
    a2
    m2-b2，代入得kPM•kPN=
    b2
    a2
    ．
    点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1，F2分别为椭C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点A(1，
    3
    2
    )    到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点Q(0.
    1
    2
    )    求|PQ|的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设F1，F2分别为椭C：数学公式（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点数学公式到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点数学公式求|PQ|的最大值．

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