Question

18．分别求出下列曲线的方程：
（1）椭圆的两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10，求椭圆的标准方程．
（2）双曲线C经过点（2，2），且与$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1具有相同的渐近线，求双曲线C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则c=4，由椭圆的定义可知：2a=10，a=5，b²=a²-c²=9，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设与$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1具有相同的渐近线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=λ，（λ≠0），将（2，2），代入椭圆方程即可求得λ=-4，即可求得双曲线C的标准方程．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
椭圆的两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），则c=4，
由椭圆的定义可知：2a=10，a=5，
b²=a²-c²=9，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）设与$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1具有相同的渐近线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=λ，（λ≠0）
由双曲线C经过点（2，2），代入可知：λ=-4，
∴双曲线C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
双曲线C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查椭圆的及双曲线的标准方程，椭圆的定义，考查待定系数法的应用，属于基础题．