Question

（2013•江苏一模）已知椭圆E：

x2

4

+y2=1的左、右顶点分别为A，B，圆x²+y²=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；
（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设D（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点D的坐标，利用S_△ADC=

1

2

|AC|×yD即可得出；
（2）设P（x₀，y₀），得到直线PA的方程，与椭圆的方程联立及利用点P在圆上即可表示出直线PB、DC的斜率，利用k₁=λk₂，及反比例函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）设D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD²+DC²=AC²，
∴（x+2）²+y²+（x-1）²+y²=9，化为x²+y²+x-2=0  ①．
∵点D在椭圆E上，∴

x2

4

+y2=1  ②．
联立①②得

x2+y2+x-2=0 x2+4y2=4

，消去y得3x²+4x-4=0，
又-2＜x＜2，解得x=

2

3

．
代入椭圆方程解得y=

2 2

3

．
∴S_△ADC=

1

2

|AC|×yD=

1

2

×3×

2 2

3

=

2

．
（2）设P（x₀，y₀），则直线PA的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，
代入椭圆的方程得到x2+

4 y 2 0

(x0+2)2

(x+2)2-4=0，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴x2+

4(2-x0)

x0+2

(x+2)2-4=0，
化为(10-3x0)x2+(32-16x0)x+24-20x0=0．
此方程有一个实数根-2，设D（x₁，y₁），则x1=

10x0-12

10-3x0

，
代入直线PA的方程得y1=

4y0

10-3x0

，
∴k1=

y0

x0-2

，k2=

y1

x1-1

=

4y0 10-3x0

10x0-12 10-3x0

=

4y0

13x0-22

．
∵k₁=λk₂，∴λ=

k1

k2

=

y0 x0-2

4y0 13x0-22

=

1

4

×(13+

4

x0-2

)，
∵-2＜x₀＜2，x0≠

22

13

，
∴λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关键．