Question

数列中，a_n＞0，a_n≠1，且（n∈N^*）．
（1）证明：a_n≠a_n+1；
（2）若，计算a₂，a₃，a₄的值，并求出数列的通项公式．

Answer 1

解：（1）若a_n=a_n+1，即，得a_n=0或a_n=1与题设矛盾，
∴a_n≠a_n+1…（6分）
（2），，…（8分）
由，得，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，得…（14分）
分析：（1）采用反证法证明，先假设两种相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值为常数0或1，进而得到此数列为是0或1的常数列，与已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假设错误，两种不相等；
（2）把n=1及，代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值；且化简成进而得到，从而判断数列是等比数列，即可得到这个数列的通项公式a_n．
点评：此题考查数列的递推式，此题利用反证法对命题进行证明，是一道中档题．