Question

10．在实数R中定义一种新运算：@，对实数a，b经过运算a@b后是一个确定的唯一的实数．@运算有如下性质：（1）对任意实数a，a@0=a；（2）对任意实数a，b，a@b=ab+（a@0）+（b@0）那么：关于函数f（x）=e^x@$\frac{1}{{e}^{x}}$的性质下列说法正确的是：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）是偶函数；③函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，这三种说法正确的有①②③．

Answer 1

分析 由题意写出函数f（x）的解析式，再分析题目中的3个命题是否正确．

解答 解：由题意，a@b=ab+（a@0）+（b@*0），且a*0=a，
所以a@b=ab+a+b；
所以f（x）=（e^x）@$\frac{1}{{e}^{x}}$=e^x•$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
对于②，f（x）的定义域为R，关于原点对称，
且f（-x）=1+e^-x+$\frac{1}{{e}^{-x}}$=1+$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x=f（x），∴f（x）为偶函数，②正确；
对于③，f′（x）=e^x-e^-x，令f′（x）≤0，则x≤0，
即f（x）的单调递减区间为（-∞，0），③正确；
对于①，由②③得：f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f（x）_最小值=f（0）=3，①正确；
综上，正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题是一个新定义函数问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性的应用问题．