Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的大小；
（3）求B₁到平面PAD的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，根据正四棱锥的几何特征易得PO⊥面ABCD，进而PO⊥BD，再由正方形对角线互相垂直得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，进而PA⊥BD，结合BD∥B₁D₁，即可得到PA⊥B₁D₁；
（2）过点O作OM⊥PD于点M，连接AM，由（1）中结论，可证得∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，解三角形AMO，即可得到平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的大小；
（3）分别取AD，BC中点E，F，作平面PEF，交底面于两点S，S₁，交B₁C₁于点B₂，过点B₂作B₂B₃⊥PS于点B₃，则B₂B₃⊥面PAD，即B₂B₃的长就是点B₁到平面PAD的距离．

解答：证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，
则PO⊥面ABCD，又∵AC⊥BD，
∴PA⊥BD，
∵BD∥B₁D₁，∴PA⊥B₁D₁．（4分）
解：（2）∵AO⊥BD，AO⊥PO，
∴AO⊥面PBD，
过点O作OM⊥PD于点M，连接AM，
则AM⊥PD，
∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，（6分）
又∵AB=2，PA=

6

，
∴OD=

2

，PO=

6-2

=2，
OM=

PO•OD

PD

=

2× 2

6

=

2

3

，
∴tan∠AMO=

AO

OM

=

2

2 3

=

6

2

，
即二面角的大小为arctan

6

2

．（8分）
（3）分别取AD，BC中点E，F，作平面PEF，交底面于两点S，S₁，交B₁C₁于点B₂，
过点B₂作B₂B₃⊥PS于点B₃，则B₂B₃⊥面PAD，又B₁C₁∥AD，
∴B₂B₃的长就是点B₁到平面PAD的距离．（10分）
∵PO=AA₁=2，
∴EF=

SS1

2

=2，tan∠PSS₁=

4

2

=2，sin∠PSS₁=

2

5

，
∴B₂B₃=B₂Ssin∠PSS₁=3×

2

5

=

6 5

5

．（（12分） ）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求不地，空间点到平面的距离，直线与直线垂直的判定，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直的相互转化，（2）的关键是确定∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，（3）的关键是得到B₂B₃的长就是点B₁到平面PAD的距离．