Question

已知曲线y=x³+x+1
（1）求曲线在点P（1，3）处的切线方程．
（2）求曲线过点P（1，3）的切线方程．

Answer 1

分析：（1）要求曲线f（x）=x³-3x在点P（1，-2）处的切线方程，先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；
（2）设过点P的切线与曲线y=f（x）相切于点R，然后根据曲线y=f（x）在点R处切线的斜率列出方程，求出切点坐标，从而可求出切线方程．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+1，
则切线的斜率为f'（1）=3×1²+1=4，
由直线的点斜式方程得，曲线在点P处的切线方程为y-3=4（x-1），即4x-y-1=0，
所以曲线在点P处的切线方程为4x-y-1=0；
（Ⅱ）设过点P（1，3）的切线与曲线y=f（x）相切于点R（x0

，x

3 0

+x0+1），
∴曲线y=f（x）在点R处切线斜率为f′(x0)=3

x

2 0

+1，
由斜率公式可得，

x 3 0 +x0+1-3

x0-1

=3

x

2 0

+1，
解得，x₀=1或x₀=-

1

2

，
故切点R分别为（1，3）和（-

1

2

，

3

8

），
由直线的点斜式方程可得，过点Q的切线方程为y-3=4（x-1）或y-

3

8

=

7

4

（x--

1

2

），
所以过点Q的切线方程有两条：4x-y-1=0和7x-4y=5=0．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了计算能力和转化的思想，解曲线的切线问题要特别注意是“在”还是“过”点．属于中档题．