Question

若不等式5-x＞7|x+1|与不等式ax²+bx-2＞0同解，而|x-a|+|x-b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：得
或得-2＜x＜-1 （3分）
综上不等式的解集为，
又由已知与不等式ax²+bx-2＞0同解，
所以解得（7分）
则|x-a|+|x-b|≥|x-a-x+b|=|b-a|=5，
所以当|x-a|+|x-b|≤k的解为空集时，k＜5． （10分）
分析：先将“不等式5-x＞7|x+1|”转化为和两种情况求解，最后取并集，再由“与不等式ax²+bx-2＞0同解”，利用韦达定理求得a，b，最后由“|x-a|+|x-b|≤k的解集为空集”求得“|x-a|+|x-b|”最小值即可．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解集与相应方程根的关系，以及不等式恒成立问题．