Question

若不等式5-x＞7|x+1|与不等式ax²+bx-2＞0同解，而|x-a|+|x-b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：先将“不等式5-x＞7|x+1|”转化为

x≥-1 5-x＞7(x+1)

和

x＜-1 5-x＞-7(x+1)

两种情况求解，最后取并集，再由“与不等式ax²+bx-2＞0同解”，利用韦达定理求得a，b，最后由“|x-a|+|x-b|≤k的解集为空集”求得“|x-a|+|x-b|”最小值即可．

解答：解：

x≥-1 5-x＞7(x+1)

得-1≤x＜-

1

4

或

x＜-1 5-x＞-7(x+1)

得-2＜x＜-1 （3分）
综上不等式的解集为{x|-2＜x＜-

1

4

 }，
又由已知与不等式ax²+bx-2＞0同解，
所以

- a b =- 9 4 - 2 a = 1 2 a＜0

解得

a=-4 b=-9

（7分）
则|x-a|+|x-b|≥|x-a-x+b|=|b-a|=5，
所以当|x-a|+|x-b|≤k的解为空集时，k＜5． （10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解集与相应方程根的关系，以及不等式恒成立问题．