Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，
故f（﹣x）=f（x）
即有（﹣x）²+b（﹣x）+c=x²+bx+c
解得b=0又曲线y=f（x）过点（2，5），
得2²+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
从而g'（x）=3x²+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，
故有g'（x）=0有实数解．即3x²+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a²﹣12≥0
解得a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
所以实数a的取值范围：a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；
（2）因x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，
故有g'（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，
解得a=2
又g'（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令g'（x）=0，得=﹣1，x₂=
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g'（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数
当时，g'（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣）上为减函数
当x∈（﹣）时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数．