Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA•sinB的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，代入所求式子中利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出所求式子的最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得：（a-c）（a+c）=b（a-b），
整理得：a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

3

；
（2）由（1）得A+B=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
则sinA•sinB=sinAsin（

2π

3

-A）
=sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=

3

2

sinAcosA+

1

2

sin²A
=

3

4

sin2A+

1-cos2A

4

=

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

，
∵A∈（0，

2π

3

），∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，sinA•sinB有最大值

3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．