Question

已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x²＋(y－3)²＝4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.

(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；

(2)当PQ＝2时，求直线l的方程；

(3)探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

Answer 1

(1)∵l与m垂直，且k_m＝－，∴k_l＝3，故直线l的方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.

∵圆心坐标(0,3)满足直线l的方程，

∴当l与m垂直时，l必过圆心C.

(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，

∵PQ＝2，∴CM＝＝1，

则由CM＝，得k＝，

∴直线l：4x－3y＋4＝0.

故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)∵CM⊥MN，∴＝()·

＝·＋·＝·.

①当l与x轴垂直时，易得N(－1，－)，

则＝(0，－)，

又＝(1,3)，∴·＝·＝－5.

②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

则由，得N(，)，

则＝(，)，

∴·＝·＝＋＝－5.

综上所述，·与直线l的倾斜角无关，且·＝－5.