Question

已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N，则下面运算结果为定值的有（　　）
①

AP

•

AQ

②

AM

•

AC

③

AC

•

AN

④

AM

•

AN

．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N的坐标（含参数k），然后根据向量数量积公式，利用切割线定理判断

AP

•

AQ

为定值，即可求出

AM

•

AC

，

AC

•

AN

，

AM

•

AN

的值，进而得到结论

解答：解：对于①，由题意

AP

•

AQ

=|

AP

|•|

AQ

|，过A作AT与圆相切，切点为T，根据切割线定理可知AT2=|

AP

|•|

AQ

|=定值．①正确．
对于②，

AM

•

AC

=

|AM

|•|

AC

|cos∠CAM=

AM

2不是定值，②不正确；
对于③，对于④，因为CM⊥MN，
∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

，
当直线l与x轴垂直时，易得N（-1，-

5

3

），
则

AN

=（0，-

5

3

），又

AC

=（1，3），
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

），
则

AN

=（

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

），
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5，
综上，

AM

•

AN

与直线l的斜率无关，且

AM

•

AN

=-5．③④正确．
正确的个数为3个．
故选C．

点评：此题考查向量的数量积的应用，切割线定理的应用，学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．