Question

已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N．
（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2）探索

AM

•

AN

是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线直线m方程得km=-

1

3

，从而得到m的垂线l的斜率k_l=3．利用直线方程的点斜式可得l的方程为y=3（x+1），而圆心C（0，3）适合直线l的方程，由此可得当l⊥m时，l必过圆心C．
（2）根据CM⊥MN，结合向量数量积的运算性质得

AM

•

AN

=

AC

•

AN

．然后分l⊥x轴时和l与x轴不垂直两种情况加以讨论，分别求出向量

AC

、

AN

的坐标，计算

AC

•

AN

并化简可得

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5，即

AM

•

AN

的值与直线l的倾斜角无关．

解答：解：（1）∵直线m方程为x+3y+6=0，∴直线m的斜率km=-

1

3

又∵l⊥m，且km=-

1

3

，∴直线l的斜率k_l=3．
故直线l的方程为y=3（x+1），即3x-y+3=0（5分）
∵圆心C坐标（0，3）满足直线l的方程，
∴当l⊥m时，l必过圆心C．（7分）
（2）∵CM⊥MN，可得

CM

•

AN

=0
∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

（9分）
①当l⊥x轴时，易得N(-1，-

5

3

)，则

AN

=(0，-

5

3

)（10分）
又∵

AC

=(1，3)，∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5（12分）
②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），则
由

y=k(x+1) x+3y+6=0

，解出N(

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

)，可得

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)（14分）
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5．
综上所述，得

AM

•

AN

=-5，即

AM

•

AN

与直线l的倾斜角无关．（16分）

点评：本题在坐标系中讨论直线与圆的位置关系，并求向量数量积

AM

•

AN

．着重考查了平面向量数量积的运算公式、直线的基本量与基本形式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．