Question

已知O为坐标原点，A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

．
（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t₁=1时，不论t₂为何实数，A、B、M三点都共线；
（3）若t₁=2，求当点M为∠AOB的平分线上点时t₂的值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，得

OM

=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t₂，t₁+3t₂），由此能求出点M在第二象限或第三象限的充要条件．
（2）由

OM

=t1

OA

+t2

AB

，知

OM

=t1

OA

+t2(

OB

-

OA

)=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，由此能证明A，B，M三点共线．
（3）由t₁=2

OM

=(t1-t2)

OA

+t2

OB

OM

=(2-t2)

OA

+5t2

OB

| OB |

，能求出当点M为∠AOB的平分线上点时t₂的值．

解答：解：（1）由A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

，
得

OM

=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t₂，t₁+3t₂），
故点M在第二象限或第三象限的充要条件为t₂＜0且t₁+3t₂≠0
（2）∵

OM

=t1

OA

+t2

AB

，
∴

OM

=t1

OA

+t2(

OB

-

OA

)=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，
∵t₁=1，
∴A，B，M三点共线；．
（3）∵t₁=2

OM

=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，
∴

OM

=(2-t2)

OA

+5t2

OB

| OB |

，
∵点M为∠ABC的平分线上的点，
∴2-t₂=5t₂，
∴t2=

1

3

．

点评：本题考查点M在第二象限或第三象限的充要条件的求法，考查A、B、M三点共线的证明，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．