Question

（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若数列 ，

求数列的通项公式；

（Ⅲ）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）=1；（2） （3）.

【解析】

试题分析：（1）由f（x）+f（1-x）= =1，能得到f（）+f（ ）=1．由此规律求值即可

（2）由a_n=f（0）+f()+f()+…+f()+f（1）（n∈N^*），知a_n=f(1)+f()+f()+…+f（）+f（0）（n∈N^*），由倒序相加法能得到a_n

（3）由b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，知b_n=(n+1)•2ⁿ，由S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹，要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，由此能够证明当k＞4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立．

解：（1）=+=+=1

                  

（2）∵     ①

∴ ②

由（Ⅰ），知=1

∴①+②，得 

（3）∵ ，∴  

∴，       ①

，  ②

①－②得 

即   要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，

法一：对一切的恒成立，

令，

∵在是单调递增的,  ∴的最小值为

∴＝,   ∴.

法二： .   设

当时，由于对称轴直线，且 ，而函数在 是增函数，     ∴不等式恒成立

即当时，不等式对于一切的恒成立

考点：本试题主要考查了数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．

点评：解题时要注意倒序相加法、错位相减法的灵活运用．