Question

设a＞0，函数f（x）=

3x

a

+

a

3x

是定义域为R的偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据偶函数的性质得：f（1）=f（-1），代入解析式化简求值即可；
（2）由（1）求出f(x)=3x+

1

3x

，再根据定义法证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=

3x

a

+

a

3x

是定义域为R的偶函数，
所以f（1）=f（-1），即

3

a

+

a

3

=

3-1

a

+

a

3-1

，
解得a²=1，又a＞0，则a=1，
证明：（2）由（1）得，f(x)=3x+

1

3x

，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=3x1+

1

3x1

-（3x2+

1

3x2

）=3x1-3x2+

3x2-3x1

3x13x2

=

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x13x2

，
因为0＜x₁＜x₂，所以3x1-3x2＜0，3x13x2＞1，
所以；

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x13x2

＜

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x13x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性的灵活应用、单调性的证明，熟练掌握定义法证明函数的单调性的步骤是解题的关键．