Question

已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=

1

2

．
（1）当x∈N₊时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n)

(n∈N+)

，求证：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）设bn=

nf(n+1)

f(n)

&(n∈N+)，Sn=b1

+b2+…+bn，求

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)．

Answer 1

分析：（1）由f（n+1）=f（n）•f（1）=

1

2

f(n)，f(1)=

1

2

，利用等比数列的通项公式能求出f（n）=

1

2 n

．
（2）由an=nf(n)=n×

1

2 n

=

n

2n

．设S_n=a₁+a₂+…+a_n，则S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2 n-1

+

n

2n

，再由错位相减法能够证明a₁+a₂+…+a_n＜2．
（3）由bn=

nf(n+1)

f(n)

=

n× 1 2 n+1

1 2 n

=

n

2

，能求出S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

n(n+1)

4

．再由裂项求和法能够得到求出

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)．

解答：解：（1）令x=n，y=1，得到
f（n+1）=f（n）•f（1）=

1

2

f(n)
∵f（n+1）=

1

2

f（n），f(1)=

1

2

，
∴{f（n）}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
由等比数列前n项和公式，知
∴f（n）=

1

2 n

．
（2）∵f（n）=

1

2 n

，∴an=nf(n)=n×

1

2 n

=

n

2n

．
设S_n=a₁+a₂+…+a_n，
则S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2 n-1

+

n

2n

，
两边同乘

1

2

，
得

1

2

Sn=

1

22

+

2

2 3

+…+

n-1

2 n

+

n

2 n+1

，
错位相减，得

1

2

Sn=

1

2

+

1

2 2

+

1

23

+…+

1

2  n

-

n

2 n+1

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-

n

2 n+1

=1-

1

2 n

-

n

2 n+1

，
∴Sn=2-

1

2 n-1

-

n

2 n+1

＜2．
所以a₁+a₂+…+a_n＜2．
（3）∵bn=

nf(n+1)

f(n)

=

n× 1 2 n+1

1 2 n

=

n

2

∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n

2

=

n(n+1)

4

．
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

 )+…+(

1

n

-

1

n+1

 )]
=4（1-

1

n+1

），
∴

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

lim

n→∞

4(1-

1

n+1

)=4．

点评：本题以数列为载体，巧妙地把函数知识、数列知识融为一体，体现了出题者的智慧．解题时要认真审题，注意错位相减法和裂项求和法的灵活运用．