Question

18．已知：集合M={x|$\frac{2}{x-1}$＞1}，N={x|6x-8≥x²}．
（1）设全集U=R，定义集合运算△，使M△N=M∩（C_UN），求M△N；
（2）若有H={x||x-a|≤2}，按（2）的运算．求出（N△M）△H．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出M，N，结合M△N=M∩（C_UN），可得答案；
（2）解不等式求出集合H，结合（1）中N△M，分类讨论，可得（N△M）△H．

解答 解：（1）∵集合M={x|$\frac{2}{x-1}$＞1}={x|$\frac{2}{x-1}$-1＞0}={x|$\frac{3-x}{x-1}$＞0}={x|$\frac{x-3}{x-1}$＜0}=（1，3），
N={x|6x-8≥x²}={x|x²-6x+8≤0}=[2，4]．
∴M△N=M∩（C_UN）=（1，3）∩[（-∞，2）∪（4，+∞）]=（1，2）．
（2）∵H={x||x-a|≤2}=[a-2，a+2]，
∴（N△M）△H=（N△M）∩（C_UH）=（1，2）∩[（-∞，a-2）∪（a+2，+∞）]，
当a-2≥2，或a+2≤1，即a≥4，或a≤-1时，（N△M）△H=（1，2），
当1＜a-2＜2，即3＜a＜4时，（N△M）△H=（1，a-2）．
当1＜a+2＜2，即-1＜a＜0时，（N△M）△H=（a+2，2）．
当a-2≤1，且a+2≥2，即0≤a≤3时，（N△M）△H=∅

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于中档题．