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设f(x)是定义在(0,+∞)的可导函数,且不恒为0,记gn(x)=
f(x)
n
(n∈N*)
.若对定义域内的每一个x,总有gn(x)<0,则称f(x)为“n阶负函数”;若对定义域内的每一个x,总有[gn(x)]≥0,则称f(x)为“n阶不减函数”([gn(x)]为函数gn(x)的导函数).
(1)若f(x)=
a
x3
-
1
x
-x
(x>0)既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数a的取值范围;
(2)对任给的“n阶不减函数”f(x),如果存在常数c,使得f(x)<c恒成立,试判断f(x)是否为“n阶负函数”?并说明理由.
分析:(1)根据“n阶负函数”的定义,f(x)=
a
x3
-
1
x
-x
同除x,设为g1(x)=
f(x)
x
=,将[g1(x)]′≥0化简整理,可得a≤
1
2
x2在(0,+∞)上恒成立,得到a≤0.代入g1(x)表达式,可得g1(x)<0在(0,+∞)上恒成立,由此可得满足条件的实数a的取值范围为(-∞,0];
(2)分两步:①根据“存在常数c,使得f(x)<c恒成立”,结合反证法证出gn(x)≤0对任意x∈(0,+∞)成立,从而得到f(x)≤0任意x∈(0,+∞)恒成立;②根据“n阶不减函数”的性质,结合函数的单调性和不等式的性质证出方程f(x)=0无解.由以上两条,即可得到所有满足题设的f(x)都是“n阶负函数”.
解答:解:(1)依题意,g1(x)=
f(x)
x
=
a
x4
-
1
x2
-1在(0,+∞)上单调递增,
故[g1(x)]′=-
4a
x5
+
2
x3
≥0恒成立,得a≤
1
2
x2,…(2分)
因为x>0,所以a≤0.                 …(4分)
而当a≤0时,g1(x)=
a
x4
-
1
x2
-1<0显然在(0,+∞)恒成立,
所以a≤0.                            …(6分)
(2)①先证f(x)≤0:
若不存在正实数x0,使得gn(x0)>0,则gn(x)≤0恒成立.  …(8分)
假设存在正实数x0,使得gn(x0)>0,则有f(x0)>0,
由题意,当x>0时,gn′(x)≥0,可得gn(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x>x0时,
f(x)
xn
f(x0)
x0n
恒成立,即f(x)>
f(x0)
x0n
•xn恒成立,
故必存在x1>x0,使得f(x1)>
f(x0)
x0n
•x1n>m(其中m为任意常数),
这与f(x)<c恒成立(即f(x)有上界)矛盾,故假设不成立,
所以当x>0时,gn(x)≤0,即f(x)≤0;        …(13分)
②再证f(x)=0无解:
假设存在正实数x2,使得f(x2)=0,
则对于任意x3>x2>0,有
f(x3)
x3n
f(x2)
x2n
=0,即有f(x3)>0,
这与①矛盾,故假设不成立,
所以f(x)=0无解,
综上得f(x)<0,即gn(x)<0,
故所有满足题设的f(x)都是“n阶负函数”.        …(16分)
点评:本题给出“n阶负函数”和“n阶不减函数”的定义,讨论了n阶负函数”f(x)能成为“n阶不减函数”的条件,着重考查了利用导数研究函数的单调性、反证法思想和不等式的性质等知识,属于中档题.
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,2)

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