Question

【题目】下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增是（ ）
A.f（x）=|sinx|
B.f（x）=ln
C.f（x）= （ex﹣e﹣x）
D.f（x）=ln（ ﹣x）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A、f（x）=|sinx|，有f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），为偶函数，不符合题意，
对于B、f（x）=ln ，有 ＞0，解可得﹣2＜x＜2，即其定义域为（﹣2，2），关于原点对称，又由f（﹣x）=ln =﹣f（x），为奇函数，
令t= =﹣1+ ，在区间（﹣1，1）上为减函数，而y=lnt为增函数，
而f（x）=ln 在区间（﹣1，1）上为减函数，不符合题意，
对于C、f（x）= （ex﹣e﹣x），其定义域为R，关于原点对称，又由f（﹣x）= （e﹣x﹣ex）=﹣f（x），为奇函数，
函数y=ex为增函数，而函数y=e﹣x为减函数，
故函数f（x）= （ex﹣e﹣x）在区间（﹣1，1）上为增函数，符合题意，
对于D、f（x）=ln（ ﹣x），有 ﹣x＞0，解可得x∈R，其定义域为R，关于原点对称，又由f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；
令t= ﹣x= ，在区间（﹣1，1）为减函数，而y=lnt为增函数，
故f（x）=ln（ ﹣x）在区间（﹣1，1）上为减函数，不符合题意，
故选：C．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．