Question

【题目】已知椭圆Г： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为 ﹣1．
（1）求椭圆Г的标准方程；
（2）已知Г上存在一点P，使得直线PF1 ， PF2分别交椭圆Г于A，B，若 =2 ， =λ （λ＞0），求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得： = ，a﹣c= ﹣1，b2=a2﹣c2，解得：a2=2，c=1，b=1．

∴椭圆Г的标准方程为 +y2=1

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），点P（x0，y0），直线PA的方程：x=my﹣1，

联立 ，化为：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，

∴y0y1= ，x0=my0﹣1，

∴m= ．

∴ =﹣ =﹣ = = = +2 = +2 =3+2x0．

∴3+2x0=2，解得x0=﹣ ，∴P ．

（i）当取P 时， = =﹣ ，可得直线PF2的方程：y=﹣ （x﹣1），即x=﹣ y+1．

代入椭圆方程可得： y2﹣ y﹣1=0，∴y2y0=﹣ ，而y0= ，

∴y2=﹣ ，∴ =﹣ =﹣ =4，即λ=4．

（ii）当P 时，同理可得：λ=4．

综上可得：λ=4

【解析】（1）由题意可得： = ，a﹣c= ﹣1，b2=a2﹣c2 ， 联立解出即可得出椭圆Г的标准方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），点P（x0 ， y0），直线PA的方程：x=my﹣1，与椭圆方程联立化为：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，可得y0y1= ，x0=my0﹣1，解得m= ．可得 =﹣ =3+2x0=2．解得x0 ， 可得P坐标．利用点斜式可得直线PF2的方程，代入椭圆方程可即可得出．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．