【题目】已知椭圆Г: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为 ,F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为 ﹣1.
(1)求椭圆Г的标准方程;
(2)已知Г上存在一点P,使得直线PF1 , PF2分别交椭圆Г于A,B,若 =2 , =λ (λ>0),求λ的值.
【答案】
(1)解:由题意可得: = ,a﹣c= ﹣1,b2=a2﹣c2,解得:a2=2,c=1,b=1.
∴椭圆Г的标准方程为 +y2=1
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),点P(x0,y0),直线PA的方程:x=my﹣1,
联立 ,化为:(m2+2)y2﹣2my﹣1=0,
∴y0y1= ,x0=my0﹣1,
∴m= .
∴ =﹣ =﹣ = = = +2 = +2 =3+2x0.
∴3+2x0=2,解得x0=﹣ ,∴P .
(i)当取P 时, = =﹣ ,可得直线PF2的方程:y=﹣ (x﹣1),即x=﹣ y+1.
代入椭圆方程可得: y2﹣ y﹣1=0,∴y2y0=﹣ ,而y0= ,
∴y2=﹣ ,∴ =﹣ =﹣ =4,即λ=4.
(ii)当P 时,同理可得:λ=4.
综上可得:λ=4
【解析】(1)由题意可得: = ,a﹣c= ﹣1,b2=a2﹣c2 , 联立解出即可得出椭圆Г的标准方程.(2)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),点P(x0 , y0),直线PA的方程:x=my﹣1,与椭圆方程联立化为:(m2+2)y2﹣2my﹣1=0,可得y0y1= ,x0=my0﹣1,解得m= .可得 =﹣ =3+2x0=2.解得x0 , 可得P坐标.利用点斜式可得直线PF2的方程,代入椭圆方程可即可得出.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:即可以解答此题.
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【题目】如图,已知长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
(2)若 =2 ,求二面角E﹣AM﹣D的正弦值.
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【题目】已知函数f( )=﹣ x3+ x2﹣m,g(x)=﹣ x3+mx2+(a+1)x+2xcosx﹣m.
(1)若曲线y=f(x)仅在两个不同的点A(x1 , f(x1)),B(x1 , f(x2))处的切线都经过点(2,t),求证:t=3m﹣8,或t=﹣ m3+ m2﹣m.
(2)当x∈[0,1]时,若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围.
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【题目】下列函数既是奇函数,又在[﹣1,1]上单调递增是( )
A.f(x)=|sinx|
B.f(x)=ln
C.f(x)= (ex﹣e﹣x)
D.f(x)=ln( ﹣x)
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【题目】椭圆与双曲线有相同的焦点,,椭圆的一个短轴端点为,直线与双曲线的一条渐近线平行,若椭圆于双曲线的离心率分别为,,则的最小值为__________.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE,构成四棱锥A1﹣BCDE,若M为线段A1C的中点,在翻转过程中有如下4个命题: ①MB∥平面A1DE;
②存在某个位置,使DE⊥A1C;
③存在某个位置,使A1D⊥CE;
④点A1在半径为 的圆面上运动,
其中正确的命题个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】有一户农村居民家庭实施10年收入计划,从第 1年至7年他家的纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
(1)将题中表填写完整,并求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析1年至7年该农户家庭人均纯收入的变化情况,并预测该农户第8年的家庭人均纯收入是多少.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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【题目】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
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