Question

【题目】如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若 =2 ，求二面角E﹣AM﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：长方形ABCD中，设AB=2，AD=1，M为DC的中点

则AM=BM= ，∴AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM

∴BM⊥平面ADM

∵AD平面ADM，∴AD⊥BM

（2）解：建立如图所示的直角坐标系，

∵ =2 ，设AB=2，AD=1，

∴A（ ，0，0），M（﹣ ，0，0），B（﹣ ， ，0），D（0，0， ），

则平面AMD的一个法向量 =（0，1，0），

=（ ， ， ）， =（﹣ ，0，0），

设AME的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取y=1，得 =（0，1，﹣4），

设二面角E﹣AM﹣D的平面角为θ，

则cosθ= = ，sinθ= = ，

∴二面角E﹣AM﹣D的正弦值为 ．

【解析】（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM．（2）建立直角坐标系，求出平面AMD、平面AME的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出二面角E﹣AM﹣D的正弦值．