Question

【题目】已知函数f（ ）=﹣ x3+ x2﹣m，g（x）=﹣ x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m．
（1）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1 ， f（x1）），B（x1 ， f（x2））处的切线都经过点（2，t），求证：t=3m﹣8，或t=﹣ m3+ m2﹣m．
（2）当x∈[0，1]时，若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：由f（ ）=﹣ x3+ x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，

f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A处的切线方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），

同理可得B处的切线方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），

代入点（2，t），可得x1，x2为方程t﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，

化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t=0，

令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），

由g′（x）=0，可得x=2或x= ．

g（2）=3m﹣8﹣t，g（ ）=﹣ m3+ m2﹣m﹣t，

由题意可得g（x）必有一个极值为0，则t=3m﹣8，或t=﹣ m3+ m2﹣m

（2）解：当x∈[0，1]时，若f（x）≥g（x）恒成立，

即为﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m，

即有 x3+（a+1）x+2xcosx≤0，

当x=0时，上式显然成立；

当0＜x≤1时，即有﹣a﹣1≥ x2+2cosx恒成立，

令m（x）= x2+2cosx，m′（x）=x﹣2sinx，m′′（x）=1﹣2cosx，

由0＜x≤1时，1＜2cos1≤2cosx＜2，则1﹣2cosx＜0，

y=x﹣2sinx在（0，1]递减，可得x﹣2sinx＜0，

则m（x）在（0，1]递减，可得m（x）＜m（0）=2，

则﹣a﹣1≥2，解得a≤﹣3．

a的取值范围是（﹣∞，﹣3]

【解析】（1）求出f（x）的导数，可得A，B处的切线方程，代入点（2，t），可得x1 ， x2为方程t﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t，求出导数，由题意可得g（x）必有一个极值为0，计算即可得到证明；（2）由题意可得﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m，即有 x3+（a+1）x+2xcosx≤0，讨论x=0，显然成立；当0＜x≤1时，运用参数分离和构造函数法，求出导数，判断单调性，求出最值，即可得到所求a的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．