Question

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB=2，AD=1，AA₁=3，M、N分别为B₁B，B₁C₁的中点，则MN与AC所成角的余弦值为(    )

A.                 B.             C.                D.

Answer 1

B

解法一:设=a,=b,=c.则:=a+b.

=-=++-(+)

=+-=c+b-c=b+c.

·=(a+b)·(b+c)=(b²+a·b+b·c+a·c)

=(1+2×1×cos60°+1×3cos60°+2×3cos60°)

=.

||=.

||=.

∴cos＜,＞=.

解法二：连结BC₁、AD₁则四边形ABC₁D₁是平行四边形，∴AD₁∥BC₁,

又BC₁，∴AD₁∥,

则AD与AC所成的角∠CAD₁就是与AC所成的角.

连结CDA₁B，则CD₁A₁B.

在△ACD₁中，AC²=AB²+BC²-2AB·BCcos(180°-60°)

=2²+1²-2×2×1×(-)=7.

AD₁²=AD²+DD₁²-2AD·DD₁cos(180°-60°)

=1²+3²-2×1×3×(-)=13.

CD₁²=A₁B²=AB²+AA₁²-2AA₁·ABcos60°=2²+3²-2×2×3×=7.

∴cosCAD₁=.