Question

如图已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．

Answer 1

分析：取

ED′

=

a

，

EF

=

b

，

EH

=

c

，则根据平行六面体的性质和向量加法法则得

HG

=

HB

+

BC

+

CG

=

D′F

+2

ED′

+

1

2

AA′

．结合空间向量的线性运算法则，化简得

HG

=

3

2

b

-

1

2

c

，可得向量

HG

与

EF

、

EH

是共面向量．由此即可证出E、F、G、H四点共面．

解答：解：取

ED′

=

a

，

EF

=

b

，

EH

=

c

，则
∵多面体ABCD-A′B′C′D′是平行六面体，
且E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，
∴

HB

=

D′F

=

b

-

a

，

BC

=2

ED′

=2

a

，且

CG

=

1

2

AA′

，

HG

=

HB

+

BC

+

CG

=

D′F

+2

ED′

+

1

2

AA′

=（

b

-

a

）+2

a

+

1

2

（

AH

+

HE

+

EA′

）=

b

+

a

+

1

2

（

b

-

a

-

c

-

a

）=

3

2

b

-

1

2

c

，
∴

HG

与

b

、

c

共面，即

HG

与

EF

、

EH

共面
由此可得E、F、G、H四点共面．

点评：本题给出平行六面体的棱的中点，求证E、F、G、H四点共面．着重考查了空间向量的加法法则、线性运算法则和平行六面体的性质等知识，属于中档题．