Question

已知a＞0，函数f(x)=+lnx

(Ⅰ)试问f(x)在[1，+∞)上能否是单调递减函数?请说明理由.

(Ⅱ)若f(x)在区间[1，+∞)上是单调递增函数，试求实数a的取值范围.

(Ⅲ)当a=1时，设数列{}的前n项和为S_n，求证：S_n-1＜f(n)＜S_n-1(n∈N^*且n≥2).

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f′(x)=  当a＞0,x∈[1,+∞)不能保证＞0或＜0恒成立,说明了y=f(x)不是—个单调函数.

(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)是单调递增函数,则f′(x)≥0恒成立,即a≥恒成立.

即a≥()_max,∵x∈[1,+∞),∴≤l,∴a≥1 

(Ⅲ)当a=1时,由(Ⅱ)知：f(x)=+lnx在[1,+∞)上为增函数,

∵f(n)+lnx=lnx

又∵当x＞1时,f(x)＞f(1),∴+lnx＞0,即lnx＞l

令g(x)=x-1-lnx,则有g′(x)=1,当x∈(1,+∞),有g′(x)＞0

从而可以知道,函数g(x)在[1,+∞)上是递增函数,所以有g(x)>g(1)=0,即得c-1＞1nx.

综上有：1＜lnx＜x-1,(x＞1),

∴;

令x=1,2,…,n-1,(n∈N^*且n≥2)时,

不等式也成立,于是代入,

将所得各不等式相加,得

即.

即∴S_n-1＜f(n)＜S_n-1(n∈N^*且n≥2)。