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    设{an}是等差数列，其前n项的和为Sn．
    （1）求证：数列{
    Sn
    n
    }    为等差数列；
    （2）设{an}各项为正数，a1=
    1
    15
    ，a1≠a2，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；②
    		Sm
    +
    		Sp
    =2
    		Sn
    ．求集合{（x，y）|Sx•Sy=1，x∈N*，y∈N*}的元素个数；
    （3）设bn=aan（a为常数，a＞0，a≠1，a1≠a2），数列{bn}前n项和为Tn．对于正整数c，d，e，f，若c＜d＜e＜f，且c+f=d+e，试比较（Tc）-1+（Tf）-1与（Td）-1+（Te）-1的大小．
    分析：（1）{an}是等差数列，可以用首项a1和公差d来表示前n项的和为Sn再将其代入
    Sn
    n
    的表达式，再用相邻两项作差的方法，得到相邻两项的差为常数，从而证出数列{
    Sn
    n
    }    为等差数列；
    （2）根据（1）中的结论，先设
    Sn
    n
    =αn+β    （其中α、β为常数），从而Sn=αn2+βn．将此式代入已知式中第二个等式，通过整理变形得β=0，再结合结合首项a1=
    1
    15
    ，得α=
    1
    15
    ，故Sn=
    1
    15
    n2．然后利用此表达式将集合{（x，y）|Sx•Sy=1，x∈N*，y∈N*}化简为{（x，y）|xy=15，x∈N*，y∈N*}，根据15有4个正约数，得到满足条件的数对（x，y）的个数为4个；
    （3）根据等比数列的定义证出数列{bn}为等比数列，然后证明等比数列的一个结论：当n＞m时，Tn＞Tn-Tn-m=qn-mTm．利用这个结论，结合c+f=d+e可以证得（Tc）-1-（Td）-1比（Te）-1-（Tf）-1大，最后通过移项证得（Tc）-1+（Tf）-1＞（Td）-1+（Te）-1．
    解答：解：（1）{an}为等差数列，设其公差为d，则
    S n
    n
    =
    na  1+  
    n(n-1)d
    2
    n
    =a 1+
    n-1
    2
    d    ，于是
    Sn+1
    n+1
    -
    S n
    n
    =a 1+
    n
    2
    d-(aq+
    n-1
    2
    d)=
    d
    2
    （常数），
    故数列{
    Sn
    n
    }    是a1为首项，公差为
    d
    2
    的等差数列．
    （2）因为{an}为等差数列，所{
    Sn
    n
    }    是等差数列，
    于是可设
    Sn
    n
    =αn+β    （其中α、β为常数），从而Sn=αn2+βn．
    因为m+p=2n，所以由
    		Sm
    +
    		Sp
    =2
    		Sn
    两边平方得
    Sm+Sp+2
    		Sm
    		Sp
    =4Sn，即得a(m 2+p 2)+2
    		Sm
    		Sp
    =4an 2+2βn=a(m+p) 2+2βn    ，
    于是
    		Sm Sn
    =αmp+βn    ，两边平方并整理得β2（m-p）2=0．
    因为m≠p，所以β=0，从而Sn=αn2，而a1=
    1
    15
    ，所以α=
    1
    15
    ．
    故Sn=
    1
    15
    n2．所以{（x，y）|Sx•Sy=1，x∈N*，y∈N*}={（x，y）|(
    1
    15
    xy)  2    =1，x∈N*，y∈N*}={（x，y）|xy=15，x∈N*，y∈N*}．
    因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个．
    即集合{（x，y）|Sx•Sy=1，x∈N*，y∈N*}中的元素个数为4．
    （3）因为
    b n+1
    b n
    =
    aan+1
    aan
    =a d    （常数），
    所以数列{bn}是正项等比数列．
    因为a1≠a2，所以等比数列{bn}的公比q≠1．
    （Tc）-1+（Tf）-1与（Td）-1+（Te）-1的大小关系即（Tc）-1-（Td）-1与（Te）-1-（Tf）-1的大小关系
    注意到当n＞m时，Tn＞Tn-Tn-m=qn-mTm．
    所以Td＞qd-cTc且Tf＞qf-eTe?（Tc）-1-（Td）-1=
    T d-T  c
    T dTc
    ＞
    T f-T e
    T eTf
    =（Te）-1-（Tf）-1
    移项可得（Tc）-1+（Tf）-1＞（Td）-1+（Te）-1．
    点评：本题题是函数与数列、不等式的综合，是一道难题．着重考查数列的函数性性质、等差数列的定义和性质等知识，考查了转化构造法、放缩法、数形结合等思想方法．
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