Question

如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；
②设∠BOC=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式．
（Ⅱ）求梯形部件ABCD面积y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE垂直于x轴于点E，
①根据题意，利用CD=2x，分别得到梯形的上底，下底和高，再利用梯形的面积公式，列出关于x的函数关系，即可得到答案；
②根据题意，利用∠BOC=θ（rad），分别得到梯形的上底，下底和高，再利用梯形的面积公式，列出关于x的函数关系，即可得到答案；
（Ⅱ）方法1：利用①的表达式，将y=

(x+1)2(1-x2)

=

-x4-2x3+2x+1

的最大值，转化成t=-x⁴-2x³+2x+1的最大值，利用导数求出函数的最值，从而确定出y的最大值；
方法2：利用①的表达式，直接对y=（x+1）

1-x2

进行求导，利用导数即可求得函数的最值；
方法3：利用②的表达式，对y=（1+cosθ）sinθ进行求导，利用导数即可求得函数的最值．

解答：解：如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE垂直于x轴于点E，
（I）①∵CD=2x，
∴OE=x（0＜x＜1），CE=

1-x2

，
∴y=

1

2

(|AB|+|CD|)•CE=

1

2

(2+2x)

1-x2

=(x+1)

1-x2

(0＜x＜1)，
②∵∠BOC=θ(0＜θ＜

π

2

)，
∴OE=cosθ，CE=sinθ，
∴y=

1

2

(|AB|+|CD|)•CE=

1

2

(2+2cosθ)sinθ=(1+cosθ)sinθ(0＜θ＜

π

2

)，
（II）（方法1）由①可知，y=（x+1）

1-x2

，
∴y=

(x+1)2(1-x2)

=

-x4-2x3+2x+1

，
令t=-x⁴-2x³+2x+1，
∴t'=-4x³-6x²+2=-2（2x³+3x²-1）=-2（x+1）²（2x-1），
令t'=0，解得x=

1

2

，x=-1（舍），
∴当0＜x＜

1

2

时，t'＞0，则函数t在（0，

1

2

）上单调递增，
当

1

2

＜x＜1时，t'＜0，则函数在（

1

2

，1）上单调递减，
∴当x=

1

2

时，t有最大值

27

16

，
∴y_max=

3 3

4

，
答：梯形部份ABCD面积y的最大值为

3 3

4

平方米．
（方法2）由①可知，y=（x+1）

1-x2

，
∴y′=

1-x2

+(x+1)×

1

2

×

-2x

1-x2

=

-2x2-x+1

1-x2

，
令y'=0，
∴2x²+x-1=0，（2x-1）（x+1）=0，
∴x=

1

2

，x=-1（舍），
∵当0＜x＜

1

2

时，y'＞0，则函数y在（0，

1

2

）上单调递增，
当

1

2

＜x＜1时，y'＜0，则函数y在（

1

2

，1）上单调递减，
∴当x=

1

2

时，ymax=

3 3

4

，
答：梯形部份ABCD面积的最大值为

3 3

4

平方米．
（方法3）由②可知，
∴y'=[（sinθ+sinθcosθ）]'=（sinθ）'+（sinθ•cosθ）'=cosθ+cos²θ-sin²θ=2cos²θ+cosθ-1，
令y'=0，
∴2cos²θ+cosθ-1=0，解得cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

，cosθ=-1（舍），
∵当0＜θ＜

π

3

时，y'＞0，则函数y在(0，

π

3

)上单调递增，
当

π

3

＜θ＜

π

2

时，y'＜0，则函数y在(

π

3

，

π

2

)上单调递减，
∴当θ=

π

3

时，ymax=

3 3

4

，
答：梯形部份ABCD面积的最大值为

3 3

4

平方米．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题以半圆为载体，考查函数模型的构建，关键是腰长表示上底长，考查了利用导数研究函数最值求法以及运算求解的能力，同时考查一题多解，属于中档题．