Question

已知点M在椭圆D：=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F₁做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直线GK是否存在？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先确定M的坐标，代入椭圆方程，再利用a²-b²=c²，求出几何量，即可求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设出过点P的直线l，利用，求得P的坐标，代入椭圆方程，即可求直线l的斜率；
（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）因为△ABM是边长为的正三角形
所以圆M的半径，M到y轴的距离为，即椭圆的半焦距
此时点M的坐标为…（2分）
因为点M在椭圆D：上
所以
又a²-b²=c²=2
解得：a²=6，b²=4
所求椭圆D的方程为…（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k
直线l的方程为y=k（x+1），则有Q（0，k）
设P（x₁，y₁），由于P、Q、F三点共线，且
根据题意得（x₁，y₁-k）=2（-x₁-1，-y₁），解得…（6分）
又P在椭圆D上，故
解得
综上，直线l的斜率为．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：椭圆N的方程为…①，
由于F₁（1，0），设直线GK的方程为y=kx-2（k＜0）…②，
则直线RS的方程为y=k（x-1）（k＜0）…③
设H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）
联立①②消元得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，所以
所以…（10分）
设R（x₅，y₅），S（x₆，y₆）
联立①③消元得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
所以，…（13分）
由，化简得：k²+1=0，显然无解，
所以满足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直线GK不存在．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．