Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B为正方形，BB₁C₁C是菱形，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求证：BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求证：B₁C⊥AC₁；
（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B₁C，AA₁，A₁B₁，B₁C₁的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面平行的性质,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由BC∥B₁C₁，证明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB₁C₁C，得AB⊥B₁C，再证明B₁C⊥平面ABC₁，得出B₁C⊥AC₁；
（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F∉平面EHG，即F∈平面AA₁C₁C，且平面AA₁C₁C∥平面EFH即可．

解答： 证明：（Ⅰ）在菱形BB₁C₁C中，BC∥B₁C₁，
因为BC?平面AB₁C₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，
所以BC∥平面AB₁C₁；…（3分）
（Ⅱ）连接BC₁，在正方形ABB₁A₁中，AB⊥BB₁，
因为平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，
平面AA₁B₁B∩平面BB₁C₁C=BB₁，
AB?平面ABB₁A₁，
所以AB⊥平面BB₁C₁C；…（5分）
又因为B₁C?平面BB₁C₁C，
所以AB⊥B₁C；…（6分）
在菱形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C；
因为BC₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁，且BC₁∩AB=B，
所以B₁C⊥平面ABC₁；…（8分）
因为AC₁?平面ABC₁，
所以B₁C⊥AC₁；…（10分）
（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，理由如下；…（11分）
因为E，G分别是B₁C，B₁C₁的中点，
所以GE∥CC₁，
同理可证：GH∥C₁A₁；
因为GE?平面EHG，
GH?平面EHG，GE∩GH=G，
CC₁?平面AA₁C₁C，A₁C₁?平面AA₁C₁C，
所以平面EHG∥平面AA₁C₁C；
又因为F∈平面AA₁C₁C，
所以F∉平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．…（14分）

点评：本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．