Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-

n

2n-1

，求a_n的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列的通项公式特点，应利用分组求和法、错位相减法求出前n项和S_n．

解答： 解：由题意得，a_n=2ⁿ-

n

2n-1

，
所以{a_n}的前n项和S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
=

2(1-2n)

1-2

-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

）=2ⁿ⁺¹-2-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
设S=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①
则

1

2

S=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

S=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
则S=4-

n+2

2n-1

，
所以S_n=2ⁿ⁺¹-2+4-

n+2

2n-1

=2n+1+2-

n+2

2n-1

．

点评：本题主要考查等比数列的前n项和公式，以及分组求和法、错位相减法求数列的前n项和，考查运算求解能力，以及整合思想、化归与转化思想．