Question

已知曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递增，则a的范围为

（-∞，0]

．

Answer 1

分析：曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，故f（x）函数在某一个点处的导数等于零．由y′=3(a-3)x2+

1

x

，知方程3（a-3）x²+

1

x

=0有解；再由f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递增，能求出a的范围．

解答：解：∵曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，
∴f（x）函数在某一个点处的导数等于零．
由函数的表达式可知f（x）的定义域为x＞0，
∵y′=3(a-3)x2+

1

x

，
∴方程3（a-3）x²+

1

x

=0有解，
等价于3（a-3）x³+1=0有解时求a的范围，
∴a＜3；
∵f（x）=x³-ax²-3x+1，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，其对称轴为x=

a

3

，
∵函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递增，
∴3-2a-3≥0，解得a≤0，
综上，a的范围为（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．

点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义和导数性质的灵活运用，合理地进行等价转化．