Question

已知曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为

[

9

4

 ，3)

．

Answer 1

分析：根据曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．

解答：解：因为y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=3(a-3)x2+

1

x

=

3(a-3)x3+1

x

=0在x＞0时有解，
所以3（a-3）x³+1=0，即a-3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x²-2ax-3≤0恒成立，即2a≥

3x2-3

x

=3x-

3

x

，
因为函数y=3x-

3

x

在[1，2]上单调递增，所以函数y=3x-

3

x

的最大值为y=3×2-

3

2

=6-

3

2

=

9

2

，
所以2a≥

9

2

，所以a≥

9

4

．
综上

9

4

≤a＜3．
故答案为：[

9

4

 ，3)．

点评：本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．