Question

在△ABC中，BC=

5

，AC=3，4cos2A-cos2C=3．
（Ⅰ）求AB的值；
（Ⅱ）求sin（2A-

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由 4cos2A-cos2C=3，化简可得2sinA=sinC．再根据正弦定理求得AB=

sinC

sinA

•BC 的值．
（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理求得cosA的值，可得sinA=

1-cos2A

的值，再利用二倍角公式求得sin2A 和cos2A的值，再根据sin（2A-

π

4

）=sin2Acos

π

4

-cos2Asin

π

4

，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵4cos2A-cos2C=3，
∴4（1-2sin²A）-（1-2sin²C）=3，…（2分）
化简可得 4sin²A=sin²C，2sinA=sinC．…（4分）
根据正弦定理可得

AB

sinC

=

BC

sinC

，
∴AB=

sinC

sinA

•BC=2BC=2

5

．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得 cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2 5

5

．…（8分）
于是 sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
从而 sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=2cos²A-1=

3

5

，
sin（2A-

π

4

）=sin2Acos

π

4

-cos2Asin

π

4

=

2

10

．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．