Question

已知{a_n }是a₁=23，公差d为整数的等差数列，且前6项为正，第7项开始为负．
（1）求d的值；
（2）求前n项之和S_n 的最大值；
（3）当S_n 是正数时求n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差数列的通项公式列出a₆＞0，a₇＜0，求出d的值；
（2）根据d＜0判断{a_n}是递减数列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6时，S_n取得最大值；
（3）由等差数列的前n项和公式列出不等式，解不等式即可．
解答：解：（1）由已知a₆=a₁+5d=23+5d＞0，a₇=a₁+6d=23+6d＜0，
解得：-＜d＜-，又d∈Z，∴d=-4
（2）∵d＜0，∴{a_n}是递减数列，又a₆＞0，a₇＜0
∴当n=6时，S_n取得最大值，S₆=6×23+（-4）=78
（3）S_n=23n+（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0
∴0＜n＜，又n∈N*，
所求n的最大值为12．
点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式，（2）问d＜0判断{a_n}是递减数列，是解题的关键，属于中档题．