Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，椭圆方程可设为．（1分）
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴．
所求椭圆方程为．（4分）
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得3y²+2y-1=0，解得．
∴．（9分）
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴．．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形?（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）（x₂-x₁，y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0?2k²-（2+4k²）m=0．
∴．（14分）
分析：（1）设椭圆方程为．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程．
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设条件得．由此入手可求出．
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由题意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知．
点评：本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．