Question

已知数列{x_n}的首项x₁=3，通项x_n=2ⁿp+nq（n∈N⁺，p、q为常数）且x₁，x₄，x₅成等差数列．
（1）求p、q的值；
（2）{x_n}前n项和为S_n，计算S₁₀的值．

Answer 1

解：（1）由x₁=3，则3=2p+q①，
又x₁，x₄，x₅成等差数列，
则（3+32p+5q）=2（16p+4q）②，
联立①②，解得p=1，q=1；
（2）把p=1，q=1代入通项得：x_n=2ⁿ+n，
则S₁₀=2+2²+…+2¹⁰+1+2+…+10=+=2101．
分析：（1）把n=1代入通项其值等于3，得到关于p与q的方程，记作①，又令n=4和5分别表示出x₄和x₅，根据x₁，x₄，x₅成等差数列，利用等差数列的性质得到2x₄=x₁+x₅，列出关于p与q的另一方程，记作②，联立①②即可求出p与q的值，；
（2）把p与q的值代入通项即可确定出通项，罗列出数列{x_n}的前10项，依次结合后，分别利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可求出S₁₀的值．
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列及等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档题．