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如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
(1)求证:平面PAB平面EFG;
(2)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,并给出证明;
(3)证明平面EFG⊥平面PAD,并求点D到平面EFG的距离.
(1)证明:E,G分别是PC,BC的中点得EGPB,
∵EG?平面PAB,PB平面PAB
∴EG平面PAB
又E,F分别是PC,PD的中点,
∴EFCD,又ABCD
∴EFAB
∵EF?平面PAB,AB⊆平面PAB
∴EF平面PAB,
又∵EG,EF?平面EFG,EG∩EF=E,
∴平面PAB平面EFG.
(2)Q为PB的中点,连QE,DE,又E是PC的中点,
∴QEBC,又BCAD,∴QEAD
∴平面ADQ,即平面ADEQ,
∵PD⊥平面ABCD,CD?平面ABCD
∴PD⊥DC,又PD=AB=2,ABCD是正方形,
∴等腰直角三角形PDC
由E为PC的中点知DE⊥PC.
∵PD⊥平面ABCD,AD?平面ABCD
∴PD⊥AD,
又AD⊥DC,PD∩CD=D,
∴AD⊥面PDC.
∵PC?面PDC
∴AD⊥PC,且AD∩DE=D.
∴PC⊥平面ADEQ,
即PC⊥平面ADQ
由于EQBCAD,
∴ADEQ为平面四边形,
由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD,
又AD⊥CD,PD∩CD=D,
∴AD⊥平面PDC,
∵PC?平面PDC,
∴AD⊥PC,
又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,
∴DE⊥PC,AD∩DE=D,
∴PC⊥平面ADQ.
(2)∵CD⊥AD,CD⊥PD,AD∩PD=D,
∴CD⊥平面PAD,
又EFCD,
∴EF⊥平面PAD,
∵EF?平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PAD.
取AD中点H,连接FH,GH,
则HGCDEF,平面EFGH即为平面EFG,
在平面PAD内,作DO⊥FH,垂足为O,
则DO⊥平面EFGH,
DO即为D到平面EFG的距离,
在三角形PAD中,H,F为AD,PD中点,
∴DO=FDsin45°=
2
2

即D到平面EFG的距离为
2
2
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3
2
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A.
15
5
B.
10
5
C.-
10
5
D.
10
4

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BA1
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2
AB
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