Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设： 求数列{b_nb_n+1}的前n项的和T_n；
（3）已知P=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b2_n-1），求证：Pn＞．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=得：且，
所以知：数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以 ，得．
（2）由得：，∴，
从而：，
则 T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=
=（1-）+（）+（）+…+（）
=1-．
（3）已知P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=，
∵（4n）²＜（4n）²-1，∴
设：，则P_n＞T_n
从而：，
故：Pn＞．
分析：（1）由a_n+1=得：且，所以 ，由此得．
（2）由得：，∴，从而：，由裂项求和法能得到数列{b_nb_n+1}的前n项的和T_n．
（3）由P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=，（4n）²＜（4n）²-1，知，由此能够证明Pn＞．
点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意构造法、裂项求和法的合理运用．