Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20项和S₂₀=230．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）现分别从{a_n}和{b_n}的前4中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求所取两项中，满足a_n＞b_n的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20项和S₂₀=230，求得a₁=2，b₁=1，q=2，d=1，由此能求出a_n和b_n．
（Ⅱ）分别从{a_n}，{b_n}中的前三项中各随机抽取一项，得到基本事件有16个，符合条件a_n＞b_n的有8个，由此能求出满足a_n＞b_n的概率．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
∵a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20项和S₂₀=230，
∴a₁=2，b₁=1，
∴

q5=32 20×2+ 20×19 2 d=230

，
解得q=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
b_n=1×2^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）分别从{a_n}，{b_n}中的前三项中各随机抽取一项，
得到基本事件（2，1），（2，2），（2，4），（2，8），（3，1），（3，2），
（3，4），（3，8），（4，1），（4，2），（4，4），（4，8），（5，1），
（5，2），（5，4），（5，8），有16个，
符合条件a_n＞b_n的有8个，
故满足a_n＞b_n的概率为

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查概率的计算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．