Question

已知圆锥曲线C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α为参数）和定点A（0，

3

），F₁、F₂是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线AF₂的直角坐标方程；
（2）经过点F₁且与直线AF₂垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求|MF₁|-|NF₁|的值．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：（1）求出椭圆方程的普通方程，求出焦点，运用直线方程的截距式写出直线AF₂的直角坐标方程；
（2）运用两直线垂直的条件，求得直线l的斜率和倾斜角，写出参数方程，代入椭圆方程，由韦达定理及参数的几何意义，即可得到所求．

解答： 解：（1）曲线C：

x=2cosα y= 3 sinα

可化为

x2

4

+

y2

3

=1，
其轨迹为椭圆，焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
经过A（0，

3

）和F₂（1，0）的直线方程为

x

1

+

y

3

=1，
即

3

x+y-

3

=0；
（2）由（1）知，直线AF₂的斜率为-

3

，
因为l⊥AF₂，所以l的斜率为

3

3

，倾斜角为30°，
所以l的参数方程为

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

 （t为参数），
代入椭圆C的方程中，得13t²-12

3

t-36=0．
因为M，N在点F₁的两侧，
所以|MF₁|-|NF₁|=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

点评：本题考查椭圆的参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的性质和直线方程的参数式和运用，考查运算能力，属于基础题．