Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A（2

2

、

3π

4

）、B（4，

π

2

）、C（2，

π

2

），直线l的参数方程为

x=-2t y=2t+1

（t为参数）．
（1）求△ABC的外接圆D的极坐标方程；
（2）设直线l与圆D相交于M、N，求弦长|MN|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（1）运用极坐标和直角坐标的关系，化极坐标为直角坐标，再由三角形为直角三角形，△ABC的外接圆D为AB为直径的圆，求出直角坐标方程，再转化为极坐标方程；
（2）求出圆心到直线的距离，由弦长公式a=2

r2-d2

，计算即可得到．

解答： 解：（1）△ABC三个顶点的极坐标分别为A（2

2

、

3π

4

）、B（4，

π

2

）、C（2，

π

2

），
则它们的直角坐标为A（-2，2），B（0，4），C（0，2），
则△ABC为直角三角形，AB为斜边，
即有△ABC的外接圆D为AB为直径的圆，
其直角坐标方程为（x+1）²+（y-3）²=2，
化为极坐标方程为（ρcosθ+1）²+（ρsinθ-3）²=2，
即为ρ²+2ρcosθ-6ρsinθ+8=0；
（2）直线l的参数方程为

x=-2t y=2t+1

（t为参数），
即为直线l：x+y-1=0，
圆D的圆心为（-1，3），半径r=

2

，
则圆心到直线的距离d=

|-1+3-1|

2

=

2

2

，
则弦长|MN|=2

r2-d2

=2

2- 1 2

=

6

．

点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的方程的求法，直线和圆相交的弦长问题，考查运算能力，属于基础题．