Question

如图3-1-4是一个二次函数y=f(x)的图象，试求这个函数的解析式.

          图3-1-4

Answer 1

思路分析：

要确定二次函数的解析式，就是确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数解析式，需要已知三个独立的条件.

当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的解析式为一般式y=ax²+bx+c，然后列三元一次方程组求解；

当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点时，通常设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)²+k求解；

当已知抛物线与x轴的两个交点(x₁,0)、(x₂,0)时，通常设函数的解析式为y=a(x-x₁)(x-x₂).

解法一：设y=ax²+bx+c，然后把(-3,0),(1,0),(-1,4)代入解析式得

解得a=-1,b=-2,c=3.

∴所求二次函数为y=-x²-2x+3.

解法二：∵二次函数与x轴有两个交点(-3,0)、(1,0)，

∴可设y=a(x+3)(x-1)，再把(-1，4)代入，得2×(-2)×a=4.∴a=-1.

∴所求二次函数为y=-(x+3)(x-1)，即为y=-x²-2x+3.

解法三：∵抛物线的顶点为(-1,4)，

∴可设y=a(x+1)²+4，再把(1,0)代入,得4a+4=0,a=-1.