Question

如图，图（1）是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线．
（1）请在图（2）的正方体中画出MN、PQ；并求此时MN与PQ所成角的大小；
（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．（说明：求角与体积时，若需画辅助图，请分别画在图（3）、（4）中）

Answer 1

分析：（1）根据正方体的表面展开图，画出MN、PQ，如图（2），在图（3）中，连接NA，AM，则AN∥PQ，∠MNA（或其补角）为MN与PQ所成角．
（2）V_{四面体MNPQ}=V _N-MPQ，其体积易求出，再与正方体的体积作比即可．

解答：解：
（1）如图所画．在图（3）中，连接NA，AM，则AN∥PQ，∠MNA（或其补角）为MN与PQ所成角，∵△MNA是正三角形，，∠MNA=60°，所以MN与PQ所成角的大小是60°．
 （2）设正方体棱长为1，V_{四面体MNPQ}=V _N-MPQ=

1

3

S_△PMQ×NP=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

，四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1：6．

点评：本题考查正方体的表面展开图 与直观图，考查异面直线夹角、体积的计算．考查空间想象、计算、转化能力．