Question

如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）
（I）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（II）证明：A₁B∥面ADC₁；
（Ⅲ）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）
（Ⅲ）（理科做）求二面角A₁-DC₁-A的正弦值．

Answer 1

分析：（I）直接求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC的面积，求出高AA₁，即可求出体积；
（II）连接A₁C，证明A₁B平行平面ADC₁内的直线DE，即可证明A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅲ）（文科做）通过直线与平面垂直，说明平面与平面垂直，直接列举出图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面即可；
（Ⅲ）（理科做）利用二面角A₁-DC₁-A的余弦值为

S△ADC1

S△A1DC1

，即可求得二面角A₁-DC₁-A的正弦值．

解答：（I）解：依题意，在正三棱柱中，AD=

3

，AA₁=3，从而AB=2，AA₁⊥平面ABC，
所以正三棱柱的体积V=Sh=

1

2

×AB×AD×AA1=

1

2

×2×

3

×3=3

3

．
（II）证明：连接A₁C，设A₁C∩AC₁=E，
连接DE，因为AA₁C₁C是正三棱柱的侧面，
所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中点，
所以DE是△A₁BC的中位线，DE∥A₁B，
因为DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）（文科做）解：AD垂直平面BCC₁B₁，AD?平面ABC、平面ABC∥平面A₁B₁C₁、AD?平面AC₁D
所以垂直于平面BCC₁B₁的平面有：平面ABC、平面A₁B₁C₁、平面AC₁D；
（Ⅲ）（理科做）解：△ADC₁中，AD=

3

，DC₁=

10

，AC₁=

13

，∴S△ADC1=

1

2

•

3

•

10

=

30

2

△A₁DC₁中，DC₁=

10

，A₁C₁=2，A₁D=2

3

，∴cos∠A₁DC₁=

12+10-4

2•2 3 • 10

=

3 30

20

∴sin∠A₁DC₁=

1-( 3 30 20 )2

=

130

20

∴S△A1DC1=

1

2

•2

3

•

10

•

130

20

=

39

2

∴二面角A₁-DC₁-A的余弦值为

S△ADC1

S△A1DC1

=

30 2

39 2

=

130

13

∴二面角A₁-DC₁-A的正弦值为

39

13

．

点评：本题考查的知识点是棱柱的体积公式，线面平行的判断，考查面面角．其中熟练掌握棱柱的几何特征，掌握线面关于的判定定理，是解答本题的关键．